均匀剪切流的中小重颗粒加速，低分辨率间歇湍流的直接数值

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文 | 如梦史馆

编辑 | 如梦史馆

引言

在自然现象和实际应用中，经常会遇到带有固体颗粒或液滴的湍流剪切流。大气中的各种重颗粒或雨滴，以及海洋边界层中的示例就是环境中的一个例子。在技术应用中也有许多例子，包括喷雾干燥、污染控制系统、燃烧器和直喷发动机。

壁界面流动的直接数值模拟DNS载有水滴的情况显示，在没有重力影响的情况下，颗粒的加速度方差会随着颗粒惯性的增加而减小。支持了之前在各向同性均匀湍流中对于重颗粒的建议，即惯性颗粒不太可能经历流体的大加速度。

直接数值模拟

剪切流的困难在于剪切在空间上是不均匀的，其他流动参数中分离出粒子运动中的剪切效应并不简单。在DNS研究中，惯性颗粒被浸入了最初各向同性湍流的轴对称扩展中。根据快速失真理论RDT，人们认为流中的较大平均应变导致了颗粒加速度方差的增加。

结果产生了纵向涡管，这些涡管逐渐倾斜向流向方向，并且受到平均速度梯度的拉伸。在这些纵向涡管周围的强旋转运动放大了涡量场，包括由平均剪切产生的纵向涡度。生成了带有涡度横向分量的强旋涡层。

这些由速度波动扭曲并朝流向方向延伸的旋涡管形成了发卷旋涡结构，所有涉及的结构以复杂的非线性方式相互作用进行能量再分布，然后大结构分解成无序的涡量场，再次在方向的有效伸展应变方向上得到拉伸。该描述的自调节循环是针对无界剪切流结束的。

将惯性颗粒添加到各向同性剪切流中将导致颗粒的复杂各向异性运动，DNS研究显示，侧向涡管的扭曲及其向流向方向的延伸可能会显著降低颗粒在侧向方向上的分散。

受均匀剪切驱动的强烈、微小且持续时间长的涡旋结构的主导性暗示，适度惯性的种子颗粒可能会强烈响应这些流速梯度强烈波动的区域。要求关注惯性颗粒的加速度统计，并分析颗粒对间歇性效应的响应。在具有间歇性流体粒子加速度行为的HIT情况下的这个问题。

涡粘性模型也用于考察提出的粒子动能应力和流体粒子速度协方差的输运方程的二阶闭合模型，使用近似解卷积方法评估了次网格尺度应力的贡献，提供了没有惯性颗粒的均匀剪切流的LES。

对带有小重粒子的湍流流动进行了直接数值模拟，模拟在大小为 L = 2π 的有限周期性立方体盒子中进行，网格点数为 N^3 = 512^3，并在一个空间方向上施加了均匀的平均剪切 S。均匀平均速度场进行了示意。通过平均剪切的 x2 方向的平流与在该方向上规定的周期性边界条件不相干。

通过使用重网格化过程，保持计算盒子不会出现增大的扭曲。已经显示出均匀剪切流的典型配置建议，在统计稳定性方面，横向盒子宽度 Lz 作为设置长度和速度尺度的主要限制，而其他两个盒子尺寸要大于盒子宽度。

随着纵横比的增加，由于解的重网格化可能会增加误差，在网格变粗的情况下，使用 323 网格点的 LES。在模拟中，几何尺寸确实太短，以至于纵向速度没有变得独立于盒子长度，但横向积分长度尺度小于盒子尺寸，DNS和LES的主要目标是产生一个背景流，重点放在装载在该假设流中的颗粒的响应上，模拟中的假设统计稳定性基于纵横比等于 1。

这些方程通过伪谱法在空间中求解，非线性项通过经典的2/3规则直接求解，以避免混叠误差，线性项则隐式计算。时间积分方案基于二阶龙格-库塔方案。剪切参数 S ∗ = Sk/ε， k = huiuii /2，用于许多均匀剪切流研究中，其表征了剪切相对于湍流时间尺度的强度度量。

针对均匀剪切流的相对短期行为S · t < 8进行，并不是针对达到统计稳态时长时间 S · t 的情况。通过改变均匀的平均剪切 S 和运动粘度 ν 的不同初始值进行了模拟，直至统计稳态状态 S · t = 100。

初始条件是在规定的雷诺数下生成的随机均匀各向同性速度场，早期时间剪切参数的演化对其初始值的选择敏感，当流动达到统计稳态时，剪切参数可能会失去这种敏感性。

LES-SSAM方法的评估

upit是粒子的速度，uixpi是粒子位置处的流体速度，而τp = ρpd^2p/18ρν是粒子的典型响应时间。流体速度到粒子位置的插值是使用插值核进行的，其空间阶数为4。

斯托克斯数被定义为St = τp/τη，由无限小示踪剂或惯性粒子引起的流体，这些粒子的斯托克斯数分别为0.3和3.0。可以看出，流向加速度的均值由Sup2定义。

在均匀剪切流中，随着粒子惯性的增加，流体中的强烈加速事件对粒子运动的影响被滤除。在HIT中，流体粒子和相对惯性较低的粒子St = 0.3的粒子加速度概率密度函数显示出拉长的尾部，将斯托克斯数增加到St = 3.0，这些尾部明显减小。

在流体和小惯性粒子的情况下，加速度模与其均方根值的比值ξ = |a|/arms，arms = ha^2i^1/2，相当符合对数正态分布，由LNξ , µ, σ^2 = 1/ξ σ^2√2π exp−ln ξ − µ^2/2σ^2表示，其中µ = −ln2/2和标准差σ^2 = ln 2。

看到流体粒子和小惯性粒子的加速度模分布保持相同的形状，独立于“纬度”θ；这些分布与无条件的PDF相当吻合。大惯性粒子St = 3.0的模也保持其方向的统计独立性。

意味着对应于粒子加速度的涨落部分和其幅度的自相关函数存在着较大的时间尺度分离，对于流体粒子和St = 0.3的粒子，以及角度θ。可以看到，虽然St = 0.3和St = 3.0的相关时间Ta仍然与Kolmogorov时间的数量级相同，但是当Stokes数增加时，相关时间Ta增加：较重粒子的方向由螺旋结构改变，保持更长的时间。

可以看到随着Stokes数的增加，下游方向的粒子加速度分量在比其他两个分量更长的时间内相关，这表明随着粒子惯性的增加，颗粒被纵向涡旋结构卷入的效应增强。粒子加速度幅度的长时间相关性暗示其统计特性可能与大尺度结构波动的性质有关，就像在均匀剪切流中的再生循环中发生的情况一样。

在能量增长阶段，加速度幅度的时间相关性较大，这个阶段的特征是形成有活力的持续结构。随着粒子惯性的增加，这种敏感性更加明显。流体和惯性粒子加速度幅度的时间演化。

该过程随着不断增加的块大小而重复进行，流体粒子随着块大小的增加，相关系数也在增加，从大约40-50η的块开始，粒子加速度的方向和粒子“看到”的涡旋的方向相当相关。纵向涡旋结构的特征。

粒子加速度角度θ的块的PDF在不同的块大小下呈现，并与所有粒子的无条件PDF的θ进行了比较。可以看到，无条件的PDF接近于50η的块大小的PDF，即粒子加速度的对齐与首选方向的一致性主要受到高达50η的结构的影响。

惯性粒子“看到”的速度梯度张量的第二不变量的统计数据显示了两个Stokes数的情况，在这里，因子Q由S 2 − R 2 计算，其中S 2 和R 2 分别是流体应变率和旋转率张量的第二不变量。

流体中的速度被欠分辨率地表示，残余尺度在粒子运动方程中所起的重要作用。作为起点，可以将大颗粒的瞬时加速度表示为两个贡献的结果。一个是由于粒子对流体中过滤速度的响应产生的；第二个包括了在残余尺度上的湍流动力学效应。

比较了两种基础流中惯性粒子的统计数据，一种是在32×3个网格点上由LES-SSAM模拟的流动，另一种是在512×3个网格点上由DNS解析得到的流动。

所有模拟都使用了与DNS中§ 2中描述的相同初始条件，由于能量耗散速率增强，标准Smagorinsky模型无法重现动能演化中的尖峰。对于S = 28 s^-1，在LESD情况下，该问题在S·t = 250时仍然存在。

残余尺度的重要性

从维度分析的角度将大粒子的瞬时加速度表示为两部分的结果，一部分是由于粒子对流体中经过滤速度的响应，另一部分包括湍流动力学对残余尺度的影响。后者受到粒子所感受的粘性耗散率 和粒子响应时间 τp 的控制。

对LES-SSAM方法的评估，比较了两种基础流中惯性粒子的统计数据。一种是在32×3个网格点上由LES-SSAM模拟的流动，另一种是在512×3个网格点上由DNS解析得到的流动。

对于所有模拟，使用了与DNS中§ 2中描述的相同初始条件。可以看出，由于能量耗散速率增强，标准Smagorinsky模型无法重现动能演化中的尖峰。

S = 3.2 s^-1 和 S = 28 s^-1的能谱，与DNS和-5/3规律进行了比较。可以看出，尽管LES可能会在两种情况下失败预测能谱，但是当解决剪切尺度时，LES-SSAM和LESD这两种方法都代表了非常相似的能谱。

能谱预测在没有在附加亚网格上模拟速度分布的情况下，在LES-SSAM中的改进仅归因于粗略解析的尺度。清楚地知道流体中粒子位置处的速度可能对粗分辨率LES数据的数值插值敏感，采用了与DNS相同的插值方法。

将LES-SSAM速度场中的示踪器，拉格朗日速度增量的概率密度函数与DNS获得的结果进行了比较。可以看出，间歇性的影响被很好地预测了。与DNS的结果接近，LES-SSAM示踪器的速度增量呈现出在小时间尺度上呈现拉伸尾巴的非高斯分布 - 这是间歇性的体现方式。

对于增加的Stokes数，小时间滞后处的滤波效应被正确地捕捉。值得再次强调的是，当剪切尺度LS在粗网格上被解决时，LESD给出的统计数据与LES-SSAM非常接近，在这种尺度未被解决时，LESD的预测完全失败。

当LS < ∆时图12b、d，LESD无法在不同时间滞后下正确地预测速度增量的行为，与LES-SSAM进行比较。鉴于在考虑的时间范围内S·t = 200和两个均匀剪切率下，LES-SSAM可以正确地再现伪周期的大尺度演化、能谱和统计分布，而LES和LESD则不能，选择将LES-SSAM方法与以DNS为背景流的惯性粒子统计数据进行进一步比较。

在示踪器和两个Stokes数的情况下，将使用32×3个网格点的LES-SSAM结果与使用512×3个网格点的DNS流动进行了比较。在LES-SSAM中，示踪器的加速度不是流体粒子的加速度，将这个加速度与DNS中的流体粒子加速度进行比较是有趣的。

结语

侧重于对均匀湍流剪切流中小颗粒加速度的特性和建模，特别感兴趣的是这些颗粒对流动中有组织的强烈涡旋结构的响应。在具有惯性颗粒的均匀剪切的512×3网格DNS中进行了拉格朗日统计。

正如HIT中观察到的那样，粒子加速度的涨落部分的方向和模式行为如同两个统计独立的变量。这些变量在显著不同的时间上相关。前者响应流体中强速度梯度事件，短时间上相关，时间为Kolmogorov时间的量级，而后者作为来自能量从能量丰富的湍流结构传递的标志，在大时间上相关。

通过更大的Stokes数，惯性颗粒会对更大的涡旋结构做出响应。如果粒子惯性增加，朝着纵向涡旋管方向加速的粒子数量会增加。显然粒子加速度朝向拉伸涡旋结构的涡度方向的弛豫与“Maxey离心机”机制导致的优选取样相反，并反映了粒子根据其Stokes数响应湍流结构的趋势：Stokes数较高的粒子以更有能量的涡旋结构取样流动。

参考文献

1、AHMED,《Direct numerical simulation of particle dispersion in》，2001年。

2、ASHURST, 《Alignment of vorticity》，1987年。

3、BAGGETT, 《Resolution requirements in large-eddy》，1997年。

4、Phys. Rev. Lett，《 Lagrangian measurements of inertial particle accelerations in grid-generated wind tunnel》，2006年。

5、BARGE, 《Effects of regenerating cycle on Lagrangian acceleration》，2019年。